ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Formados por dos rectas al cortarse, son iguales dos a dos. 

Construcciones

Ángulos opuestos por el vértice. Ángulo igual a otro. Figuras 19 y 20

1. Construcción de un ángulo igual a otro:

Trazamos un arco de radio arbitrario y centro en el vértice O, obtenemos A y B. Colocamos donde queramos transportar el ángulo una de las dos semirrectas, por ejemplo la OB y trazamos un arco de centro O y radio OB, sobre el arco y desde B trasladamos la distancia AB obteniendo A que uniremos con O. FIG.20

2. Suma de ángulos:

Dados dos ángulos, trazamos arcos de igual radio en ambos y construimos uno sobre otro según hemos visto. FIG. 21.

3. Diferencia de ángulos. FIG. 22

Suma y diferencia de ángulos. Figuras 21 y 22

Bisectriz

Bisectriz de un ángulo. Es la recta que divide al ángulo en dos mitades o el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo. Construcciones:

1^er método:

Trazamos un arco con centro en el vértice del ángulo y obtenemos A y B, calculando la mediatriz del segmento AB obtenemos la bisectriz buscada. FIG. 23.

2º método:

Trazamos dos arcos de diferente radio y centro en el vértice del ángulo dado (concéntricos), obtenemos AB y CD. Unimos A con D y B con C, cortándose AD y BC en P, unimos P con O y obtenemos la bisectriz buscada. FIG. 24. P equidista de los lados del ángulo pues los segmentos AD y BC se cortan formando dos triángulos iguales (APC y BPD)

3º. Trazado de la bisectriz de un ángulo de vértice desconocido:

Trazamos paralelas r y s a los lados del ángulo hacia adentro y a igual distancia, la bisectriz de r y s de vértice conocido es la misma que la del ángulo dado. FIG. 25.

4º. Bisectriz de un ángulo mixtilíneo.

Un ángulo mixtilíneo es el formado entre un arco y una semirrecta. Para calcular su bisectriz, trazamos primero varios arcos concéntricos y a igual distancia del arco dado trazando posteriormente rectas paralelas a la semirrecta del ángulo con distancias entre ellas iguales a las tomadas para los arcos. Se localizan los puntos de intersección de los arcos concéntricos y rectas paralelas correspondientes (el primer arco concéntrico con la primera recta paralela a la semirrecta y así sucesivamente), obteniendo la bisectriz que es una curva equidistante al arco y semirrecta originales simultáneamente. FIG.26.

Bisectriz y división de un ángulo. Figuras 23, 24, 25, 26 y 27

División de ángulos

1. División del ángulo en un número par de partes iguales.

Se trazan sucesivas bisectrices.

2. División del ángulo recto en tres partes iguales.

Con centro en el vértice O del ángulo dado, se traza un arco de radio arbitrario obteniendo A y B. Con centro en A y B trazamos dos arcos de igual radio, obteniendo sobre el primero los puntos C y D que unidos con O dividen en tres partes al ángulo [1]. FIG. 27

3. División de un ángulo cualquiera en tres partes iguales.

Este problema no tiene solución geométrica exacta, podemos resolverlo de un modo aproximado de la siguiente forma. Por el vértice B del ángulo dado trazamos un arco de radio r arbitrario que determina A y C en los lados del ángulo y N en la prolongación del lado BA. Situamos una recta pasando por C que corte a D en el arco y a E en la recta BA de tal forma que la distancia DE sea igual al radio del arco trazado r. La paralela a la recta CE, trazada por B, define en el arco el punto F y este la tercera parte aproximada del ángulo, trazamos la bisectriz de CBF y quedará dividido en tres partes. FIG. 28

División de ángulos en 3 partes y en un número impar cualquiera de partes iguales. Figuras 28 y 29

4. División de un ángulo  en un número cualquiera de partes iguales:

Para dividir el ángulo en un número de partes iguales n, con centro en el vértice trazamos un arco de radio arbitrario y dividimos su rectificación (segmento recto de longitud igual a la del arco dado) en el mismo número de partes.

Dado el ángulo de vértice O, trazamos el arco y obtenemos A y B, lo rectificamos llevando sobre la semirrecta opuesta a BO y a partir de W, punto de corte de la prolongación del arco con dicha semirrecta, ¾ partes del radio del arco, obteniendo C. Unimos C con A y prolongamos hasta cortar en D a la perpendicular trazada por B al segmento OB. El segmento BD es la rectificación del arco [2]. Dividimos BD en n partes iguales (ej: 5) que unimos con C obteniendo las divisiones del arco y por tanto del ángulo. FIG. 29.

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[1]AOC y BOD son triángulos equiláteros y por tanto sus ángulos de 60º. Restados al triángulo BOA nos quedan los ángulos BOC de 30º y DOA de 30º también, el restante, COD es por tanto de 30º también.

[2]El método de rectificación visto, es válido para ángulos iguales o menores de 90º.